التسجيل التعليمات قائمة الأعضاء التقويم البحث مشاركات اليوم اجعل كافة الأقسام مقروءة
 

(معلم الناس الخير يستغفر له كل شيء حتى الحيتان في البحر) حديث صحيح
 

إعلانات تجارية

 
     

 
العودة   رياضيات جدة > الرياضيات العالية ( متقدمة ) 00 HIGH MATHEMATICS > الهندسات بفروعها 00 Geometry
 

إضافة رد
 
 
أدوات الموضوع انواع عرض الموضوع  

 نظرية مورلي

    #1
yahya7007
إدارة المنتدى
 
الصورة الرمزية yahya7007
افتراضي نظرية مورلي
06-19-2007, 10:44 AM


نظرية مورلي
Morley's Theorem


في أواخر القرن التاسع عشر عام 1899م قدم البروفيسور مورلي Frank Morley نظريته المتعلقة بمستقيمات تثليث زوايا المثلث , فكل زاوية لها مستقيمي تثليث يقسمان الزاوية الى ثلاثة زوايا متطابقة.
وتنص نظرية مورلي على انه
في أي مثلث , النقاط الثلاث الناتجة من تقاطع مستقيمات التثليث المتجاورة adjacent trisectors تشكل مثلث متطابق الأضلاع.

لقد شكلت هذه النتيجة مفاجأة , إذ لم يكن هذا أمرا متوقعا. الإثبات الأصلي لمورلي لهذه النظرية كان على شكل نتيجة من دراسة له كانت أكثر تعقيدا وبعيدة نوعا ما عن مفاهيم الهندسة المستوية.
ولذلك نشا بعدها عدة محاولات في تقديم براهين أكثر ارتباطا بالهندسة ولتلائم طبيعة المعلومة التي تحملها نظرية مورلي.
البرهان
يسير البرهانبطريقة عكسية أنطلاقا من المثلث المتطابق الأضلاع وصولا الى مثلث مستقيمات التثليث المتجاورة فيه تتقاطع عند رؤوس المثلث المتطابق الأضلاع.
ليكن PMN مثلث متطابق الأضلاع ولتكن a,b,c أي ثلاة أعداد موجبة بحيث يكون مجموعها 60 , اي ثلث مجموع زوايا المثلث. سنبدا الآن ببناء المثلث الذي زواياه 3a, 3b , 3c
من النقطة P ارسم زاوية قياسها a ومن النقطة M ارسم زاوية قياسها c بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة B. بالمثل من النقطة P والنقطة N ارسم زاويتين قياسهما b و c على الترتيب بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة A.

بالنظر للمثلث APN يظهر بوضوح أن الزاوية PAN=a بالنظر للمثلث BPM يظهر بوضوح أن الزاوية PBM=a
المثلثين PNR و PMQ في كل منهما زاوية 60 وزاوية 60+c وضلعين متطابقين PM , PN. إذا

أيضا من التطابق الزاويتين الخارجيتين PRA و PQB متساويتن وبالتالي المثلثان APR و BPQ متشابهان لتساوي زوايتين من الأول مع زاويتين من الثاني ومن تناسب الأضلاع فيهما ينتج أن :

حيث النسبة الأولى من اليمين ناشئة من أن .
لنصل الآن القطعة AB . في المثلثين ABR و ABP الزاوية R= الزاويةP . ولذلك المثلثان متشابهان من خلال زاوية وتناسب ضلعين كما يبين التناسب السابق. وبالتالي الزاويتين المتبقية من المثلث ABP قياسهما a, b كما هو مبين على الشكل.
بالمثل نستطيع تكرار نفس هذه المحاولة مرة ثم مرة اخرى لنحصل في النهاية على مثلث ABC كما في الشكل قياس زواياه على 3a, 3b, 3c والتي مجموعها بطبيعة الحال 180 درجة.

هذا الاثبات يبين كيف نبني المثلث الذي تعطي مستقيمات التثليث الخاصة به ذلك المثلث المتطابق الأضلاع , وحتى يكتمل البرهان لنفرض أننا اعطينا مثلث اختياري XYZ قياس زواياه r, s , t. لنفرض أن أثلاث هذه القياسات هي a,b,c. إذا المثلث ABC المنشأ بالطريقة السابقة عبارة عن مثلث مشابه لهذا للمثلث المعطى وحيث التشابه يحافظ على الزوايا فإن نقاط تقاطه مستقيمات التثليث المتجاورة تشكل رؤوس لمثلث متطابق الأضلاع وهو المطلوب إثباته.
برهان آخر
البرهان التالي والمسمى برهان بانكوف Bankoff's Proof يعتمد على حساب المثلثات ويتميز بأنه يقدم صيغة رياضية لحساب طول ضلع المثلث الناشئ (المتطابق الأضلاع) بدلالة زوايا المثلث الأصلي.ليكن ABC مثلث مرسوم داخل دائرة نصف قطرها ولنفرض أن


ولنفرض ان الدائرة المحيطة بالمثلث نصف قطرها R=1 . من قانون الجيوب

ينتج لنا

خذ الآن المثلث BAP , من قانون الجيوب لدينا

إذا

ولكن من حساب المثلثات وبالتعويض بهذه النتيجة عن sin3a في المساواة (2) ينتج لدينا

بالمثل

ولكن من قانون جيب التمام على المثلث BPM

لاحظ أن الزوايا 60+a , 60+c , b مجموعها 180 ولذلك هي زوايا لمثلث. ولنفرض ان الدائرة المحيطة به نصف قطرها r. باستخدم قانون الجيب وعلاقته بنصف القطر (المذكور أعلاه) يمكن التعبير عن أطوال أضلاع هذا المثلث بدلالة نصف القطر وباستخدام هذا التعبير في قانون جيب التمام يكون الناتج

إذا

وبالتعويض في (3) نحصل على

أو

نلاحظ أن هذه الصيغة الخاصة بإيجاد طول الضلع PM في المثلث PMN متناظرة بالنسبة للقياسات a,b,c. لذلك ستكون لبقية الضلعين MN , NP نفس القيمة وهذا يثبت أن المثلث PMN متطابق الضلعين.
أخيرا اشير الى انه في العام 1995 قدم كونوي Conway برهانا جميلا وقد يكون من أقصر البراهين لنظرية مورلي اعتمد فيه أبسط المفاهيم الهندسية تماما
( منقول بتصرف )


التوقيع

التعديل الأخير تم بواسطة yahya7007 ; 06-19-2007 الساعة 02:31 PM.
  رد مع اقتباس
 

 

    #2
فوزية المغامسي
- 0 - ^مراقبة إدارية^ - 0 -
 
الصورة الرمزية فوزية المغامسي
 
تاريخ التسجيل: Apr 2007
المشاركات: 5,557
بمعدل: 2.02 مشاركة في اليوم
فوزية المغامسي is on a distinguished road

من مواضيع العضو


فوزية المغامسي غير متواجد حالياً

افتراضي 10-03-2007, 11:16 AM




التوقيع
المحبة والإحترام هي القاسم المشترك الأكبر
بيننا في منتدانا ... فليس هناك تفاضل ...
وبقاؤنا معاً يمثل التكامل ولانرضى بالتبادل ...
( فوزية المغامسي )
( مراقبة قسم برامج الرياضيات )
  رد مع اقتباس
 

 

    #3
wafaa
مراقبة قسم مجلة الرياضيات
 
الصورة الرمزية wafaa
 
تاريخ التسجيل: May 2007
الدولة: جدة
الهواية: الكومبيوتر - القراءة - السباحة -
المشاركات: 3,380
بمعدل: 1.24 مشاركة في اليوم
wafaa is on a distinguished road

من مواضيع العضو


wafaa غير متواجد حالياً

افتراضي 10-03-2007, 04:53 PM


أستاذ يحي



التوقيع
  رد مع اقتباس
 
إضافة رد

رياضيات جدة > الرياضيات العالية ( متقدمة ) 00 HIGH MATHEMATICS > الهندسات بفروعها 00 Geometry


أدوات الموضوع
انواع عرض الموضوع

ضوابط المشاركة
لا تستطيع إضافة مواضيع جديدة
لا تستطيع الرد على المواضيع
لا تستطيع إرفاق ملفات
لا تستطيع تعديل مشاركاتك

كود [IMG]متاحة
كود HTML معطلة



المواضيع المتشابهه
الموضوع كاتب الموضوع المنتدى مشاركات آخر مشاركة
شرح نظرية ذات الحدين للكرخي طارق الصيعري الصف الثاني 32 05-01-2012 09:28 PM
عرض بوربوينت نظرية رول فوزية المغامسي الصف الثالث 14 10-08-2011 10:52 PM
نظرية في الكتاب المدرسي ؟؟ ابو خالد الصف الثالث 12 09-15-2007 08:31 PM
نظرية كيلي في الزمر yahya7007 الجبر وحساب المثلثات 00 Algebra & Trigonometry 0 06-19-2007 08:57 AM
مقدمة نظرية الأعداد yahya7007 الجبر وحساب المثلثات 00 Algebra & Trigonometry 1 06-08-2007 10:09 PM



الساعة الآن 10:38 AM



المشرف على المنتديات الاستاذ : سامي احمد رحيّم        رئيس قسم الرياضيات بتعليم جدة
إدارة المنتدى  الاستاذ : محمد مسفر الزهراني

Powered by vBulletin™ Version 3.8.7
Copyright © 2014 vBulletin Solutions, Inc. All rights reserved. منتديات